Перевод чисел из 10-ой системы счисления

Перевод целых чисел

Пусть а – десятичное целое число. Тогда это число можно представить в двоичной системе в виде суммы положительных степеней двойки, т. е. число а можно представить в виде

а = а_n * 2ⁿ + a_n-1 * 2^n-1 + … + a₁ * 2 + a₀,

где а_j – цифры двоичной системы.

Разделим число а на 2 нацело. Частное от деления будет равно а_n * 2^n-1 + a_n-1 * 2^n-2 + … + a₁, остаток от деления равен а₀.

Полученное частное опять разделим на 2, остаток от деления будет равен а₁.

Если продолжить этот процесс деления, то на (n + 1) – м шаге получим последовательность цифр а₀, а₁, а₂, …, а_n, которые являются цифрами числа а в двоичной системе, но записанными в обратном порядке.

Полученное правило перевода можно записать в виде следующего алгоритма.

Алгоритм перевода целого числа из десятичной системы в двоичную:

1)     Делим исходное число а на 2 нацело в десятичной системе и записываем в качестве нового значения десятичного числа а целую результата от деления;

2)    Остаток от деления (это будет 0 или 1) приписываем слева к полученным ранее цифрам в двоичной записи числа а (первая полученная цифра соответствует младшему разряду и ее мы просто записываем);

3)    Выполняем (1) и (2) до тех пор, пока число а не станет равным 0.

Пример. Перевод числа 123 в двоичную систему счисления:

123 : 2 = 61 (1)           В скобках указано значение остатка от деления: каждый

61 : 2 = 30 (1)             остаток – это цифра в двоичной записи числа.

30 : 2 = 15 (0)             Ответ: 123 = 1111011₂.   

15 : 2 = 7 (1)

7 : 2 = 3 (1)

3 : 2 = 1 (1)

1 : 2 = 0 (1)

Типичные ошибки при реализации этого алгоритма следующие:

·        Нарушение порядка записи полученных цифр (часто их ошибочно записывают слева направо, а не справа налево);

·        Неправильное выписывание крайней слева цифры (про нее либо забывают, так как в результате последнего деления получается ноль целых, либо получают неверно при выполнении операции деления остатком меньшего числа на большее).