Позиционные системы счисления

Во многих системах счисления выбирается некоторое число p – основание системы счисления, и каждое число N представляется в виде комбинации его степеней с коэффициентами, принимающими значение от 0 до p-1, т. е. в виде

a_k * p^k + a_k-1 * p^k-1 + … + a₁ * p + a₀. Такая форма записи называется развёрнутой формой числа.

Далее такое число сокращённо записывается в виде (a_ka_k-1 … a₁a₀)_p. В этой записи значение каждой цифры зависит от того места, которое эта цифра занимает.

Например, в числе 222 двойка учaствует три раза. Но самая правая из них означает две единицы, вторая справа – два десятка, т. е. двадцать, а третья – две сотни:  222₁₀ = 2 * 10² + 2 * 10¹ + 2 * 10⁰.

Системы счисления, построенные таким образом, называются позиционными.

Для дробных чисел развёрнутая форма числа будет выглядеть следующим образом:

a_k * p^k + a_k-1 * p^k-1 + … + a₀ * p⁰+ a_-1 * p^-1+ ... + a_-m * p^-m  .

Например:

555,55₁₀ = 5 * 10² + 5 * 10¹ + 5 * 10⁰+ 5 * 10^-1 + 5 * 10^-2 .

Итак: позиционная система счисления - это система счисления, в которой числовое значение каждой цифры зависит от номера её позиции (разряда) в последовательности цифр, представляющей число. Числовое значение цифры определяется по строгому правилу.

Самой распространенной позиционной системой счисления является современная десятичная система счисления, в которой используется 10 арабских цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Например, в записи числа 555 в десятичной системе счисления используется одна цифра 5, но в зависимости от занимаемого ею места, она имеет разное значение - 5 сотен, 5 десятков, 5 единиц.

Рассмотрим некоторые позиционные системы счисления: